数学定积分(definite integral)本页总览定积分(definite integral)主要介绍一些公式和例题备注定积分相比不定积分计算更巧妙定积分的极限形式∫abf(x)dx=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi注意但是他和ξi\xi_iξi的分法和xix_ixi的取法无关，仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关∫abf(x)dx=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=limn→∞1n∑i=1nf(in)\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=n→∞limn1i=1∑nf(ni)这是一个非常常见的计算形式例1：计算limn→∞∑k=1nk∑k=1nn+k\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt{k}}{\sum_{k=1}^n\sqrt{n+k}}n→∞lim∑k=1nn+k∑k=1nk提示：提取1n\frac1nn1 ，答案是122−1\frac{1}{2\sqrt{2}-1}22−11定积分存在条件注意下面列出的都是充分条件f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点（可去/跳跃间断点）三角函数定积分公式∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx={n−1n⋅n−3n−2⋅ ⋯ ⋅12⋅π2 ,n为正偶数n−1n⋅n−3n−2⋅ ⋯ ⋅23 ,n为大于1的奇数\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx= \left\{ \begin{align} &\frac{n-1}{n} · \frac{n-3}{n-2} ·\ \cdots\ ·\frac12·\frac\pi2 \ \ \ &,n为正偶数\\ &\frac{n-1}{n} · \frac{n-3}{n-2} ·\ \cdots\ ·\frac23\ \ \ &,n为大于1 的奇数 \end{align} \right.∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=⎩⎨⎧nn−1⋅n−2n−3⋅ ⋯ ⋅21⋅2π nn−1⋅n−2n−3⋅ ⋯ ⋅32 ,n为正偶数,n为大于1的奇数∫0πxf(sin x)dx=π2∫0πf(sin x)dx\int_0^\pi xf(sin\ x)dx=\frac\pi2 \int_0^\pi f(sin\ x)dx∫0πxf(sin x)dx=2π∫0πf(sin x)dx解题技巧对称区间记得利用奇偶性化简极限形式提取1n\frac1nn1谨记三角函数公式