摄动制导

基础知识

前面我们简要介绍了火箭主动段的流程和制导方法，理论上火箭在关机点关机后不再需要控制，可以在重力作用下滑行至自由段结束，但是总是存在一些误差，所以我们在主动段快要结束时需要修正这个弹道，使得关机点满足我们的需求。

关机方程

下面这个方程称为关机方程

$$F\left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{r}_T\right)=0$$

其中$\boldsymbol{r}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{r}_T$分别是位矢、速度矢量、目标点位矢，关机点理应满足这个方程

显然关机点的状态不是唯一的（如下图），那么如何设计关机方程呢

射程偏差

因为关机点存在偏差，所以关机点实际状态预测出的落点会和目标落点存在一定的偏差，不考虑地球自转，忽略被动段气动力和重力异常等因素，射程偏差可以定义为弹目距离-预估射程

$$\Delta L\left(\boldsymbol{r}_k, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{T}}\right)=\bar{L}\left(\boldsymbol{r}_k, \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{T}}\right)-L\left(\boldsymbol{r}_k, \boldsymbol{v}_k\right)$$

我们的目标就是让这个偏差为0

$$\Delta L\left[\boldsymbol{r}\left(t_k\right), \boldsymbol{v}\left(t_k\right), \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{T}}\right]=0$$

但是我们并不知道这个函数具体是什么

一般来说，我们可以先设计一条弹道，然后假设主动段整个导弹的实际弹道和标称弹道相差不大，那么我们就可以将关机方程在标称关机点做一阶泰勒近似，得到标称关机点射程偏差的表达式

$$\Delta L^{(1)}[\boldsymbol{X}(t)]=\frac{\partial \Delta L}{\partial \bar{X}\left(\bar{t}_k\right)}\left[\boldsymbol{X}(t)-\bar{X}\left(\bar{t}_k\right)\right]$$

提示

其中

$$\boldsymbol{X}(t)=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{r}^T(t) & \boldsymbol{v}^T(t) \end{array}\right]^T$$

他包含了导弹的位置、速度信息

这个相当于把偏差线性化了，最终的偏差认为是斜率（偏导）乘以dx（状态偏差），得到的就是射程偏差

摄动制导工作过程

首先需要在发射前离线计算并存储$\bar{X}\left(\bar{t}_k\right), \frac{\partial \Delta L}{\partial \bar{X}\left(\bar{t}_k\right)}$，他们分别代表导弹在标称时间的状态信息（位置和速度）以及射程偏差对状态的偏导

导弹点火起飞后，在主动段飞行的前半段，导弹会按照标称弹道飞行，实际弹道在标称弹道附近

接近标称关机点时，制导系统开始计算关机方程，并且根据关机方程的偏差设计导引方程，调整姿态角

只有在关机方程满足时，制导系统才会发出关机指令

上图中黑色和蓝色部分是射程偏差的计算框图，其偏差信息回输入到导引方程中，并且调整火箭姿态，最终使得关机方程满足

关机方程失效条件

在大的建模误差和外扰下，一阶线性近似方程不能准确描述非线性关机方程

弹道摄动理论

全偏差等于等时偏差加上时间不一致导致的偏差